数学は、の行動と働きを理解するために決定的な役割を果たします電気 そして 電子システム 。多項式、代数、確率、積分、微分などは、システムを解決するために使用されるツールの重要な部分を形成します。システムの複雑さが増すにつれて、非常に高度な方法が必要になります。微分方程式は、制御システムを定義するために主に使用されます。これらの方程式は簡単に解くことができます。しかし、高階微分方程式を解くときに複雑さが生じます。このような複雑な高階微分方程式を解くために、効果的であることが証明された数学的方法は次のとおりです。 ラプラス変換 。この変換は広く採用されているため、それらが実際に何を意味し、どのように機能するかを知ることは有用です。

ラプラス変換とは何ですか？

数学では、方程式を扱いやすくするために、変数をある形式から別の形式に変換するために変換が適用されます。ラプラス変換はほとんど同じことをします。それらは、高階微分方程式を、微分方程式を直接解くよりもはるかに簡単な多項式形式に変換します。

しかし、フーリエ変換のようなさまざまな変換があります。z変換は、ラプラス変換を特別なものにしますか？ラプラス変換の主な利点は、安定したシステムと不安定なシステムの両方に対して定義されているのに対し、フーリエ変換は安定したシステムに対してのみ定義されていることです。

ラプラス変換式

時間領域での関数f（t）のラプラス変換（tはゼロ以上の実数）は、F（s）として与えられます。 sは、周波数領域の複素数です。 s =σ+jω
上記の式は次のように見なされます片側 ラプラス変換方程式 。制限が実軸全体に拡張されると、 両側ラプラス変換 次のように定義できます
のような実際の回路では RCおよびRL回路 通常、初期条件が使用されるため、片側ラプラス変換が分析目的で適用されます。
s =σ+jωであるため、σ= 0の場合、ラプラス変換はフーリエ変換として動作します。

“どちらがより良いアナログまたはデジタル信号です ”

ラプラス変換式

ラプラス変換の適用条件

ラプラス変換は積分変換と呼ばれるため、これらの変換の収束に必要な条件があります。
つまり、fは区間[0、∞）で局所可積分でなければならず、σが正か負かによって、e ^（-σt）は減衰または増加する可能性があります。単一の値ではなく両側ラプラス変換の場合、積分は収束領域と呼ばれる特定の範囲の値に収束します。

ラプラス変換のプロパティ：

直線性

タイムシフト

Sドメインのシフト

時間反転

Sドメインでの分化

時間の畳み込み

初期値の定理

ラプラス変換で分子の次数が分母の次数よりも小さい場合、初期値の定理が適用されます最終値の定理：

sF（s）のすべての極が、S平面の左半分にある場合、最終値の定理が適用されます。

逆ラプラス変換

収束特性により、ラプラス変換には逆変換もあります。ラプラス変換は、ある関数空間から別の関数空間への1対1のマッピングを示します。逆ラプラス変換の式は次のとおりです。

“さまざまな種類の再生可能エネルギーリスト ”

ラプラス変換を計算する方法は？

ラプラス変換により、方程式の処理が簡単になります。高階微分方程式が与えられると、ラプラス変換が適用され、方程式が代数方程式に変換されるため、扱いやすくなります。次に、この代数方程式を単純化して根を計算します。これで、与えられた高階微分方程式を解く、より単純な式の逆ラプラス変換が見つかりました。

ラプラス変換の計算

ラプラス変換の応用

電気および 電子回路 。
複素微分方程式をより単純な多項式形式に分解します。
ラプラス変換は、定常状態と過渡状態に関する情報を提供します。
機械学習では、ラプラス変換を使用して、データマイニングで予測と分析を行います。
ラプラス変換は、システムモデリングの計算を簡素化します。

信号処理におけるラプラス変換の応用

ラプラス変換は、信号処理のために頻繁に選択されます。フーリエ変換とともに、 ラプラス変換 周波数領域で信号を研究するために使用されます。周波数領域の信号に小さな周波数がある場合、信号は時間領域で滑らかであると期待できます。信号のフィルタリングは通常、ラプラスが信号を時間領域から周波数領域に変換するための重要なツールとして機能する周波数領域で行われます。