ベルヌーイの定理とは：導出とその制限

ベルヌーイの 定理 1738年にスイスの数学者ダニエルベルヌーイが発明されました。この定理は、液体の流れの速度が上がると、エネルギー保存の法則に基づいて液体の圧力が下がると述べています。その後、1752年にレオンハルトオイラーによってベルヌーイの方程式が正規形で導出されました。この記事では、ベルヌーイの定理、導出、証明、およびその適用の概要について説明します。

ベルヌーイの定理とは何ですか？

定義： ベルヌーイの定理は、機械全体が エネルギー 流れる液体のエネルギーには高度の重力ポテンシャルエネルギーが含まれ、液体の力に関連するエネルギーと液体の動きの運動エネルギーは安定したままです。省エネの原理から、この定理を導き出すことができます。

ベルヌーイの方程式は、ベルヌーイの原理としても知られています。この原理を完全な状態の流体に適用すると、密度と圧力の両方が反比例します。したがって、速度が遅い流体は、非常に速く流れる流体と比較して、より多くの力を使用します。

ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理方程式

ベルヌーイの方程式の公式は、力、運動エネルギー、および容器内の液体の重力ポテンシャルエネルギーの間の主な関係です。この定理の公式は次のように与えることができます。

p +12ρv2+ρgh=安定

上記の式から、

「p」は液体によって加えられる力です

「v」は液体の速度です

「ρ」は液体の密度です

「h」はコンテナの高さです

この方程式は、力、速度、および高さの間の安定性に関する大きな洞察を提供します。

ベルヌーイの定理を述べて証明する

層流で流れるわずかな粘性の液体を考えてみましょう。そうすると、全体のポテンシャル、運動エネルギー、および圧力エネルギーは一定になります。ベルヌーイの定理の図を以下に示します。

断面を変更することにより、パイプLM全体を移動する密度「ρ」の理想的な流体を考えます。

L＆Mの端の圧力をP1、P2とし、L＆Mの端の断面積をA1、A2とします。

V1で液体が入るのを待ちます 速度 ＆V2速度で去ります。

しましょう A1> A2

連続の方程式から

A1V1 = A2V2

A1がA2の上にある（A1> A2）とすると、V2> V1およびP2> P1になります。

「t」時間に「L」の終わりに入る液体の質量。この場合、流体がカバーする距離はv1tです。

したがって、時間内に流体端「L」端に力を加えて行われる仕事は、次のように導き出すことができます。

W1 =力x変位= P1A1v1t

同じ質量「m」が時間「t」で「M」の終わりから離れると、流体はv2tを通る距離をカバーします

したがって、「P1」圧力のために圧力に逆らって流体を介して行われる仕事は、

W2 = P2A2v2t

「t」時間に流体を介して力によって行われたネットワークは、次のように与えられます。

W = W1-W2

= P1A1v1t- P2A2v2t

この作業は、流体に対して力で行うことができ、その場合、そのポテンシャルと運動エネルギーが増加します。

流体の運動エネルギーの増加が

Δk= 1 / 2m（v22-v12）

同様に、流体の位置エネルギーが増加すると、

Δp= mg（h2-h1）

仕事とエネルギーの関係に基づく

P1A1v1t- P2A2v2t

= 1 / 2m（v22-v12）-mg（h2-h1）

液体のシンクとソースがない場合、「L」の端から入る流体の質量は、「M」の端からパイプから出る流体の質量と同等です。次のように導出できます。

A1v1ρt=A2v2ρt= m

A1v1t = A2v2t = m /ρ

この値を上記の式にP1A1v1t-P2A2v2tのように代入します

P1 m /ρ-P2m/ρ

1 / 2m（v22-v12）-mg（h2-h1）

つまり、P /ρ+ gh + 1 / 2v2 =定数

制限事項

ベルヌーイの定理の制限 以下のものが含まれます。

• チューブの真ん中の流体粒子速度は最大で、次の方向にゆっくりと減少します。 テレビ 摩擦のため。結果として、液体の速度の粒子が一貫していないため、単に液体の平均速度が使用されている必要があります。
• この方程式は、液体の供給を合理化するために適用できます。乱流や非定常流には適していません。
• 液体の外力は液体の流れに影響を与えます。
• この定理は、非粘性流体に適用されることが好ましい。
• 流体は非圧縮性でなければなりません
• 流体が湾曲したレーンを移動している場合は、遠心力によるエネルギーを考慮する必要があります
• 液体の流れは時間に対して変化してはなりません
• 不安定な流れでは、わずかな運動エネルギーが熱エネルギーに変化する可能性があり、厚い流れでは、せん断力のために一部のエネルギーが消失する可能性があります。したがって、これらの損失は無視する必要があります。
• 粘性の影響は無視できる必要があります

アプリケーション

ザ・ ベルヌーイの定理の適用 以下のものが含まれます。

ボートを平行に動かす

2隻のボートが同じ方向に並んで移動しているときはいつでも、その間に空気または水があり、ボートが離れた側にあるときと比較してより速く移動します。したがって、ベルヌーイの定理によれば、それらの間の力は減少します。したがって、圧力の変化のために、ボートは引力によって互いの方向に引っ張られます。

飛行機

飛行機はベルヌーイの定理の原理に基づいて動作します。飛行機の翼には特定の形状があります。飛行機が動くとき、その低い表面のかつらとは対照的に、空気は高速でその上を流れます。ベルヌーイの原理により、翼の上下の空気の流れに違いがあります。したがって、この原理により、翼の上面に空気が流れるため、圧力が変化します。力が平面の質量よりも大きい場合、平面は上昇します

アトマイザー

ベルヌーイの原理は、主にペイントガン、昆虫噴霧器、およびキャブレターアクションで使用されます。これらでは、シリンダー内のピストンの動きにより、スプレーする流体に浸されたチューブに高速の空気を供給することができます。高速の空気は、流体の上昇により、チューブにかかる圧力を低くすることができます。

屋根の吹く

雨、雹、雪、小屋の屋根による大気のトラブルは、小屋の他の部分に害を及ぼすことなく吹き飛ばされます。吹く風が屋根に軽い重量を形成します。屋根の下の力は低圧よりも大きくなります。これは、屋根の圧力差が風によって上昇して吹き飛ばされる可能性があるためです。

ブンゼンバーナー

このバーナーでは、ノズルが高速でガスを発生します。このため、バーナーのステム内の力が減少します。したがって、環境からの空気がバーナーに流れ込みます。

マグヌス効果

回転するボールが投げられると、飛行中の通常の経路から離れます。したがって、これはマグヌス効果として知られています。この効果は、クリケット、サッカー、テニスなどで重要な役割を果たします。

したがって、これはすべてについてです ベルヌーイの定理の概要 、方程式、導関数、およびそのアプリケーション。ここにあなたへの質問があります、何ですか